Tablas de verdad

Una tabla de verdad corresponde a un arreglo rectangular conformado por una o más proposiciones y todas las posibles combinaciones de verdad que se pueden definir de la proposición dada. Esto es, un conjunto de combinaciones de valores de verdad correspondientes a una proposición.

El resultado definitivo de una proposición compuesta corresponde al valor del conectivo lógico principal de la proposición y se obtiene a partir de los valores parciales de las proposiciones que la conforman. Se utilizan para comprobar la verdad o falsedad de las proposiciones.

El cantidad de combinaciones de verdad de una proposición depende del número de proposiciones simples que la componen y se calcula mediante la expresión 2n con n=número de proposiciones simples.

En efecto, si n es 1, se tienen dos posibles valores de verdad; si se tienen 2 proposiciones se producen 4 posibles valores de verdad; si se tienen 3 proposiciones, entonces serían 8 las posibles combinaciones de verdad si se tienen 4 proposiciones, entonces serían 16 las posibles combinaciones de verdad y así sucesivamente

Notación de proposiciones

Para denotar proposiciones se utilizan letras minúsculas tales como p, q, r, s, t, u, etc., seguidas de dos puntos (:); el enunciado se escribe entre comillas dobles (“ ”).

 

Ejemplo 4.8: denote las siguientes proposiciones

. p: “La ciudad de Medellín es la capital del departamento de Antioquia”

. q: “4+2x=3 con x=- 0.5”

. r: ”El número 3 es primo”

. s: ”El sol es un astro”

. t: “las estrellas son planetas”

. u: “Barranquilla es capital de Quindío”

 
Conectores Lógicos

Conectivos Lógicos Fundamentales

Conectivos lógicos derivados

A partir de los conectivos lógicos fundamentales se definen otros muy importantes en el argot de la lógica; son ellos: el condicional, el bicondicional, la disyunción exclusiva, antidisyunción, anticonjunción, antidisyunción exclusiva.

Ejemplo: Un hombre le prometió a su novia: “me casaré contigo solo si consigo trabajo”. El hombre consiguió trabajo, pero rehusó a casarse con ella. Ella lo demandó por romper la promesa. ¿La novia pudo ganar lógicamente la demanda? ¿Por qué?.

Solución: no, porque la promesa del hombre fue la recíproca del condicional. En efecto, veamos su análisis.

Las proposiciones fueron: p: “me casaré contigo” y q: “consigo trabajo”

Disyuntiva exclusiva

  

Álgebra de proposiciones

Álgebra de proposiciones es un sistema axiomático consistente, completo e independiente; se utiliza básicamente para construir y simplificar proposiciones complejas, siempre que cumplan determinadas propiedades.

Elementos del álgebra proposicional

Los siguientes elementos se utilizan para escribir expresiones proposicionales. Cada expresión proposicional tiene su respectiva función lógica. Los elementos del álgebra proposicional son:

Símbolos lógicos. Se representan por F y V; corresponden a los posibles valores de una proposición, para señalar respectivamente la falsedad o la verdad de la proposición.
Constantes. Son proposiciones que no cambian su valor (siempre es F o V).
Variables. Son proposiciones que cambian su valor con el tiempo; están representadas por las letras minúsculas del alfabeto, así: p, q, r, s, t, etc.
Signos de agrupación. Se utilizan los paréntesis izquierdo “(“ y paréntesis derecho “)”

Postulados del álgebra de proposiciones

Los postulados son de gran importancia para la justificación de las leyes. Su enunciado se puede ver en la tabla 4.7:

Leyes del álgebra de proposiciones

Las leyes de las proporciones conforman la parte fundamental para demostrar la equivalencia entre proposiciones o construir y simplificar funciones lógicas (con propiedades determinadas) de manera consistente; más adelante se utilizará para construir circuitos digitales óptimos a partir del álgebra booleana (capítulo 10).
Sean p, q, r proposiciones cualesquiera, entre otras leyes se tienen básicamente las siguientes (véase la tabla 4.8):

 

Para verificar la verdad de la equivalencia de estas leyes, basta con utilizar las tablas de verdad, con las cuales deberá llegar a una tautología. 

Trascripción de enunciados en lenguaje corriente al lenguaje simbólico

La trascripción de un enunciado dado en lenguaje corriente al lenguaje simbólico consiste en extraer las proposiciones simples y luego, utilizando los conectivos lógicos escribe el enunciado dado.

Para transcribir dichos enunciados de lenguaje corriente a lenguaje lógico puede proceder así:

Analice cuales son las proposiciones simples que conforman el enunciado dado.

2. Escriba el enunciado de manera simbólica, teniendo en cuenta los signos de puntuación. Esto le ayudará a esclarecer cual es el conectivo lógico principal. Tenga en cuenta el orden de prioridad de estos signos según la tabla 4.9; adicionalmente, considere que si en la proposición hay paréntesis, podría comenzar evaluando la proposición simbólica por los paréntesis más internos.

3. Cambie los conectivos derivados que aparezcan en la expresión por conectivos fundamentales; por ejemplo, si es condicional p→q por su equivalente ¬pvq.

4. Si el objetivo del problema es simplificar el enunciado, aplique las leyes de las proposiciones para lograrlo.

. Extraiga y escriba en lenguaje lógico las proposiciones simples del enunciado p: “el caballo es cuadrúpedo” q: “el perro es mamífero” r: “la gallina es invertebrado”

. Escriba la proposición utilizando la trascripción lógica (pÙ q)→r

. Determine el valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que conforman la proposición dada. p: V, q: V, r: F

 

 

Ejemplo: simplifique cada uno de estos enunciados hasta lograr el mínimo.

Como Juan es condenado, debe ser el asesino. Entonces, Juan es el asesino y debe ser condenado.

2. Como al trabajar debo casarme, entonces, no es el hecho de que si no me caso deba trabajar.

3. No es cierto: que el agua no está contaminada o que produzca amebiasis o que si el agua no produce amebiasis, entonces el agua no esté contaminada.

Solución 1: El enunciado tiene dos enunciados simples; estas son:

p: “Juan es condenado”

q: “Juan es el asesino”

La trascripción lógica queda como sigue: (p→q)→(q^p) Ahora, apliquemos los pasos para simplificar la proposición 

 

 El enunciado obtenido es “Juan es condenado”

Solución 2: Los enunciados simples son:

p: “debo trabajar”

q: “debo casarme”

La trascripción al lenguaje simbólico es: (p→q)→¬(¬q→p)

 

Por consiguiente, la conclusión del enunciado es “no debo casarme”